勉強時間の計測に時間時刻記録

2009年02月24日

3で割った余り


各位の数の総和を3で割った余りに等しい


例えば
123456788
の各位の数の総和は
1+2+3+4+5+6+7+8+8=44
これを3で割ると
44÷3=14・・・2
よって123456788を3で割った余りは2


理由
どのn桁の自然数も
(an)(a(n-1))・・・(a2)(a1)   (0<=ai<=9, 1<=i<=n)
のようにあらわせます。
これは次のものと同じです。
Σ(ai)x10^(i-1)

10^(i-1)=99・・・9+1
要するに9の倍数+1です。
よってある整数qiを用いて
10^(i-1)=9(qi)+1
のようにあらわせます。(特にq1=0)

よって
Σ(ai)x10^(i-1)
=Σ(ai)x(9(qi)+1)
=Σ(ai)x9(qi) + Σ(ai)
=9Σ(ai)(qi) + Σ(ai)
=3(3Σ(ai)(qi)) + Σ(ai)
よって3(3Σ(ai)(qi))は3で割り切れるので
Σ(ai)の3で割った余りは
Σ(ai)x10^(i-1)のそれに等しくなります。


練習問題
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posted by qc at 15:08 | Comment(2) | 余りを求める方法 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
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