勉強時間の計測に時間時刻記録

2009年04月07日

4で割った余り

ある自然数を4で割ったあまりはその下2桁を4で割った余りに等しい。


証明
大雑把に言えば百の位以上は100の倍数なので4で割り切れるので
下2桁の余りが全体のあまりになる。
以下もうちょっと詳しく。

以下の4つを正しいとして証明します。
(1)
任意の自然数は
杷(i)*10^i (0≦i, 0≦f(i)≦9)
であらわせる。
たとえば
278
= 2*100 + 7*10 + 8*1
である。

(2)
任意の自然数nはある自然数q,rを用いて次のようにあらわせる。
n = 4*q + r (ただし 0≦r<4)
このrがnを4で割った余りである。

(3)
自然数nがkの倍数であるとはある自然数qを用いて次のようにあらわせることである。
n = k*q

(4)
kの倍数+kの倍数はkの倍数である。
なぜなら
k*s+k*t = k*(s+t)
これと(3)による。


ここからが証明
(1)より任意の自然数は
杷(i)*10^i  (0≦i)
でありその下2桁は
f(1)*10+f(0)
である。
よってある自然数k,t,rを用いて
f(1)*10+f(0) = 4*t + r(ただし 0≦r<4)
と表したときに
杷(i)*10^i = 4*k + r 
を示せばよい。

i≧2のとき
10^i
= 100*10^(i-2)
= 4*25*10^(i-2)
よってs≧2のとき
f(s)*10^s
= f(s)*4*25*10^(s-2)
= 4*(f(s)*25*10^(s-2))
= 4の倍数((3)より)・・・@ 
だから
杷(s)*10^s は @と(4)より4の倍数である。
よって(3)よりある自然数qを用いて
杷(s)*10^s = 4*q
である。

よって
杷(i)*10^i
= 杷(s)*10^s + f(1)*10+f(0) (s≧2)
= 4*q + (4*t+r)
= 4*(q+s) + r

証明終了


posted by qc at 23:43 | Comment(3) | 余りを求める方法 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2009年02月24日

3で割った余り


各位の数の総和を3で割った余りに等しい


例えば
123456788
の各位の数の総和は
1+2+3+4+5+6+7+8+8=44
これを3で割ると
44÷3=14・・・2
よって123456788を3で割った余りは2


理由
どのn桁の自然数も
(an)(a(n-1))・・・(a2)(a1)   (0<=ai<=9, 1<=i<=n)
のようにあらわせます。
これは次のものと同じです。
Σ(ai)x10^(i-1)

10^(i-1)=99・・・9+1
要するに9の倍数+1です。
よってある整数qiを用いて
10^(i-1)=9(qi)+1
のようにあらわせます。(特にq1=0)

よって
Σ(ai)x10^(i-1)
=Σ(ai)x(9(qi)+1)
=Σ(ai)x9(qi) + Σ(ai)
=9Σ(ai)(qi) + Σ(ai)
=3(3Σ(ai)(qi)) + Σ(ai)
よって3(3Σ(ai)(qi))は3で割り切れるので
Σ(ai)の3で割った余りは
Σ(ai)x10^(i-1)のそれに等しくなります。


練習問題
123
254
137893
41743691867922987697146194


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